\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{cancel}
\begin{document}

\chead{Correction Devoir surveillé n°0}
\lfoot{}
\cfoot{Retour de vacances.}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Devoir surveillé n°0}
\end{center}
\vspace{30pt}

\begin{exo}[Calcul littéral]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression 
\begin{align*}
A & = 2x^2 - (x+2)(3x-1) \\
& = 2x^2 - (3x^2 +6x -x - 2) \\
& = 2x^2 - 3x^2 -5x +2 \\
& = \boxed{-x^2 - 5x + 2}
\end{align*}
\item Factoriser l'expression
\begin{align*}
B & = (2x+3)^2 - 2(4x + 1)(2x+3) + (4x+1)^2 \\
  & = \left( (2x+3) - (4x +1) \right)^2 \\
  & = \left( 2x+3 - 4x - 1 \right)^2 \\
  & = \boxed{\left( 2 - 2x  \right)^2}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exo}
 
\begin{exo}[Fractions]
\'Ecrire sous la forme la plus simple possible les fractions suivantes.

\reponset{ 
C & =  \dfrac{(2x^2-x)(6-3x)}{3x(2-x)} \\
  & =  \dfrac{x(2x - 1)\times 3 \times(2 - x)}{3x(2-x)} \\
  & = \boxed{2x - 1}
}{
D & = - \dfrac{2x+4}{2x} \times \dfrac{x^2}{2+x} \\
  & = - \dfrac{2(x+2)}{2x} \times \dfrac{x^2}{2+x} \\
  & = \boxed{-x}
}{
E & = \dfrac{50}{49}\times \dfrac{49}{48} \times \ldots  \times \dfrac{3}{2} \times \dfrac{2}{1} \\
  & = \dfrac{50}{\cancel{49}}\times \dfrac{\cancel{49}}{\cancel{48}} \times \ldots  \times \dfrac{\cancel{3}}{\cancel{2}} \times \dfrac{\cancel{2}}{1} \\
  & = \boxed{50}
}
\end{exo}

\begin{exo}[Somme de fractions]
\begin{enumerate}
\item Le plus petit dénominateur commun entre $4(x+2)(x^2+1)$ et $2(x^2+1)(x-1)$ est 
\begin{center}
\fbox{$4(x+2)(x-1)(x^2+1)$.}
\end{center}
\item On écrit $\dfrac{2x+3}{x}$ sous la forme $a + \dfrac{b}{c}$ où $b < c$ : 
\begin{align*}
\dfrac{2x+3}{x} & = \dfrac{2x}{x} + \dfrac{3}{x} \\
& = \boxed{2 + \dfrac{3}{x}}
\end{align*}
\item On donne $\displaystyle A = \frac{1}{1+t} - \frac{1}{1+t^2}$ et $B = (1+t^2)(1+t)$. On a alors
\begin{align*}
AB & = \left( \frac{1}{1+t} - \frac{1}{1+t^2} \right) \times (1+t^2)(1+t) \\
   & = \dfrac{(1+t^2)(1+t)}{1+t} - \dfrac{(1+t^2)(1+t)}{1+t^2} \\
   & = 1 +t^2 - (1+t) \\
   & = \boxed{t^2 - t.}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Racines carrées et $|\cdot|$]
\begin{enumerate}
\item On calcule
\begin{align*}
F & = (\sqrt{5}+ 3)(\sqrt{5} - 3) \\
  & = (\sqrt{5})^2 - 3^2 \\
  & = 5 - 9 \\
  & = \boxed{- 4}
\end{align*}
\item On a  \boxed{$G = |-14| = 14$}.
\item On calcule 
\begin{align*}
H & =  \dfrac{x}{\sqrt{x} - 4}+ \dfrac{1}{\sqrt{x} + 4} \\
  & = \dfrac{x(\sqrt{x}+4)}{(\sqrt{x} - 4)(\sqrt{x}+4)} + \dfrac{\sqrt{x}-4}{(\sqrt{x} - 4)(\sqrt{x}+4)} \\
  & = \boxed{\dfrac{x\sqrt{x} + 4x + \sqrt{x} - 4}{x - 16}}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Puissances]
\'Ecrire les expressions suivantes sous la forme $x^a$. 

\reponsed{ 
I & = \dfrac{x^3 \times x^{-2}}{x^5} \\
  & = \dfrac{x}{x^5} \\
  & = \boxed{x^{-4}}
}{ 
J & = \sqrt{x} \times \dfrac{x^2}{(-x)^4x^{-1}}
  & = x^{1/2} \times \dfrac{x^2 \times x}{x^4 \times (-1)^4} \\
  & = x^{1/2} \times x^{-1} \\
  & = x^{-1/2}
}
\end{exo}

\begin{exo}[\'Equations]
\begin{enumerate}
\item On résout la première équation en factorisant
\begin{align*}
(1) & \Longleftrightarrow (2x+1)^2 - 25 = 0 \\
    & \Longleftrightarrow (2x+1 - 5) (2x+1 + 5) = 0 \\
    & \Longleftrightarrow (2x - 4)(2x +6) = 0
\end{align*}
Or $2x - 4 = 0 \Longleftrightarrow x= 2$ et $2x+6 = 0 \Longleftrightarrow x = -3$ donc
\begin{center}
\fbox{$\mathscr{S}_1 = \left\{ -3 ; 2 \right\}$.}
\end{center}

\item L'équation $(\ln(x)-1)(2-5\ln (x)) = 0$ étant déjà factorisé, on a d'une part
$$
\ln(x) - 1 = 0 \Longleftrightarrow \ln(x) = 1 \Longleftrightarrow x = e
$$
et d'autres part 
$$
2-5\ln (x) = 0 \Longleftrightarrow \ln(x) = \dfrac{2}{5} \Longleftrightarrow x = e^{2/5}
$$
L'ensemble des solutions de l'équation est donc
\begin{center}
\fbox{$\mathscr{S}_2 = \left\{ e^{2/5} ; e \right\}$.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\newpage
\begin{exo}[Logarithme et exponentielle]
On simplifie les expressions suivantes

\reponsed{ 
K & = \ln\left( \dfrac{\sqrt{8}+2}{2} \right) +\ln\left( \dfrac{\sqrt{8}-2}{2} \right) \\
  & = \ln\left( \dfrac{\sqrt{8}+2}{2} \times \dfrac{\sqrt{8}-2}{2} \right) \\
  & = \ln\left( \dfrac{1}{4}  \times (\sqrt{8}+2)(\sqrt{8}-2) \right) \\
  & = \ln\left( \dfrac{1}{4}  \times (8 - 4) \right) \\
  & =\boxed{ \ln(1) = 0}
}{
L & = \ln(\sqrt{e}^3) \\
  & = 3 \ln(\sqrt{e}) \\
  & = \boxed{\dfrac{3}{2}}
}
\end{exo}


\begin{exo}[Inéquations]
\begin{enumerate}
\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
\dfrac{2x}{5} - \dfrac{1}{3} \leq - \dfrac{4}{15} & \Longleftrightarrow 6x - 5 \leq  - 4 \\
& \Longleftrightarrow 6x \leq 1 \\
& \Longleftrightarrow x \leq \dfrac{1}{6}
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_1 = \left]- \infty ; \dfrac{1}{6} \right]$.}
\end{center}

\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
2x^2 - 4x \geq 0  & \Longleftrightarrow 2x (x - 2) \geq 0   
\end{align*}
On réalise alors un tableau de signe pour déterminer quand l'expression de droite est positive
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2]{$x$/1,Signe de $2x$/1, Signe de $x-2$/1, Signe de $2x (x - 2)$/1}{$-\infty$,0,2,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+} 
\tkzTabLine{,-,t,-,z,+}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_2 = \left]- \infty ; 0 \right] \cup \left[2 ; +\infty \right[$.}
\end{center}

\item On résout l'inéquation 
\begin{align*}
\dfrac{1}{x-5} < \dfrac{1}{2x+1}  & \Longleftrightarrow \dfrac{1}{x-5} - \dfrac{1}{2x+1} < 0  \\
& \Longleftrightarrow \dfrac{2x+1}{(2x+1)(x-5)} - \dfrac{x-5}{(2x+1)(x-5)} <0 \\
& \Longleftrightarrow \dfrac{2x+1- x +5}{(2x+1)(x-5)} < 0 \\
& \Longleftrightarrow \dfrac{x +6}{(2x+1)(x-5)} < 0\\
\end{align*}
On a alors le tableau de signe suivant
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2]{$x$/1,Signe de $x+6$/1, Signe de $2x+1$/1,Signe de $x-5$/1, Signe de $\dfrac{x+6}{(2x+1)(x-5)}$/2}{$-\infty$,$-6$,$-1/2$,$5$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,t,+} 
\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,t,+}
\tkzTabLine{,-,t,-,t,-,z,+}
\tkzTabLine{,-,z,+,d,-,d,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_3 = ]-\infty ; -6[ \cup \left] - \dfrac{1}{2}; 5 \right[ $.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Fonctions]
\subsubsection*{Partie A}
On considère la fonction $f$ définie sur $[1;10]$ par $f(x) = -\dfrac{1}{2} x^2 + 2x + 15 \ln(x)$. 
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $[1,10]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle et pour tout $x \in [1,10]$ 
\begin{align*}
f'(x) & = - x + 2 + \dfrac{15}{x} \\
      & = \boxed{\dfrac{-x^2 + 2x + 15}{x}}
\end{align*} 
\item Afin de dresser le tableau de variation, on cherche le signe de la dérivée. On résout pour cela l'équation $-x^2 + 2x + 15 =0$. Le discriminant de cette équation est $\Delta = 4 - 4 \times(-1) \times 15 = 64$. Il y a donc deux solutions
$$
x_1 = \dfrac{-2 - 8}{(-2)} = 5 \qquad \text{et} \qquad x_2 = \dfrac{-2 + 8}{(-2)} = -3
$$
On calcule alors $f(1) = -\dfrac{1}{2} + 2 + 15\ln(1) = \dfrac{3}{2}$, $f(5) = - \dfrac{5}{2} + 15 \ln(5) \approx 21,6$ et $f(11) = -\dfrac{77}{2} + 15 \ln(11) \approx -2,5$
On en déduit le tableau de variation suivant.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2]{$x$/1,Signe de $-x^2 + 2x + 15$/1, Signe de $x$/1,Signe de $f'(x)$/1, Variations de $f$/2}{$1$,$5$,$10$}
\tkzTabLine{,+,z,-} 
\tkzTabLine{,+,t,+}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/$\dfrac{3}{2}$,+/$\approx 21.6$,-/$-2.5$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item \begin{enumerate}
\item Sur l'intervalle $[1;5]$ la fonction admet un minimum en $x= 1$ valant $\dfrac{3}{2}$. La fonction est donc strictement positive sur cet intervalle. Sur l'intervalle $[5;11]$, 
\begin{itemize}
\item La fonction $f$ est continue (on a montré précédemment qu'elle était dérivable)
\item La fonction est strictement décroissante sur cet intervalle. 
\item $f(5) > 0$ et $f(11) < 0$. 
\end{itemize}
Donc, d'après le théorème de la bijection, \begin{center}
\fbox{l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $[5;11]$ et donc sur $[1;11]$.}
\end{center}
On notera cette solution $\alpha$ (alpha) et on suppose que $\alpha \approx 10.66$
\item D'après les variations de $f$ et la question précédente, \begin{center}
\fbox{$f(x) \geq 0$ pour $x \in [1; \alpha]$ et $f(x) < 0$ pour $x \in ]\alpha; 11]$. }
\end{center}
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item On considère la fonction $F$ définie sur $[1;10]$ par $F(x) = - \dfrac{1}{6} x^3 + x^2 - 15x + 15x \ln(x)$. La fonction $F$ est dérivable sur $[1;11]$ en tant que somme de fonctions dérivables et 
\begin{align*}
F'(x) & = - \dfrac{1}{6} \times 3x^2 + 2x - 15 + 15\ln(x) + 15 \dfrac{x}{x} \\
      & = -\dfrac{1}{2} x^2 + 2x + 15 \ln(x) \\
      & = f(x)
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$. }
\end{center}
\item On calcule 
\begin{align*}
\ds \int_1^{10} f(x) dx & = \left[ - \dfrac{1}{6} x^3 + x^2 - 15x + 15x \ln(x) \right]_1^{10} \\
						& = - \dfrac{1000}{6} + 100 -150 + 150 \ln(10) - \left( - \dfrac{1}{6} + 1 - 15 +0 \right) \\
						& = - \dfrac{1300}{6} + 150 \ln(10) - \left( - \dfrac{85}{6} \right) \\
						& = \boxed{150 \ln(10) - \dfrac{405}{2} }
\end{align*}
\item Par définition de la valeur moyenne, la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1 ; 10]$ est 
\begin{center}
\fbox{$M = \dfrac{1}{10 - 1}\int_1^{10} f(x) dx =  \dfrac{50}{3} \ln(10) - \dfrac{45}{2}$.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie B}

\begin{enumerate}
\item Cela revient à résoudre l'inéquation $f(x) \geq 0$. D'après la question $A3(b)$, pour obtenir un bénéfice mensuel positif, \begin{center}
\fbox{la société doit produire et vendre entre 100 et 1066 chaises (valeur approchée de $\alpha$).}
\end{center}
\item D'après le tableau de variation de la partie $A$. On a un maximum atteint en $x=5$. \begin{center}
\fbox{La société doit donc produire et vendre $500$ chaises pour que son bénéfice soit maximal.}
\end{center} 
\end{enumerate}

\end{exo}

\newpage 
\begin{exo}[Probabilités]
Une enquête a été réalisée auprès des élèves d'un lycée afin de connaître leur sensibilité au développement durable et leur pratique du tri sélectif.L'enquête révèle que 70 \% des élèves sont sensibles au développement durable, et, parmi ceux qui sont sensibles au développement durable, 80 \% pratiquent le tri sélectif.Parmi ceux qui ne sont pas sensibles au développement durable, on en trouve 10 \% qui pratiquent le tri sélectif.On interroge un élève au hasard dans le lycée. On considère les évènements suivants :\\

\noindent S: L'élève interrogé est sensible au développement durable. \\
T: L'élève interrogé pratique le tri sélectif.

\noindent{\it Les résultats seront données de manière exacte.}
\begin{enumerate}
\item Arbre pondéré décrivant la situation :

\vspace{5cm}
\item On calcule 
\begin{align*}
P(S \cap T) & = P(S) \times P_S(T)\\
			& = 0,7 \times 0,8 \\
			& = \boxed{0,56 }
\end{align*}
\item Les évènements $(S,\overline{S})$ forment un Système Complet d'évènements. D'après la formule des probabilité totale :
\begin{align*}
P(T) & = P(S \cap T) + P (\overline{S} \cap T) \\
	 & = P(S)\times P_S(T) + P(\overline{S}) \times P_{\overline{S}}(T) \\
	 & = 0,7 \times 0,8 + 0,3 \times 0,1 \\
	 & = 0,56 + 0,03 \\
	 & \boxed{= 0,59}
\end{align*}
\item On interroge un élève qui ne pratique pas le tri sélectif. On cherche alors la probabilité $P_{\overline{T}} (S)$. En utilisant la formule de Bayes, 
\begin{align*}
P_{\overline{T}} (S) & = \dfrac{P(S)}{P(\overline{T})} P_S(\overline{T}) \\
					 & = \dfrac{0,7}{0,41} \times 0,2 \\
					 & = \dfrac{14}{41}
\end{align*}
Or $\dfrac{14}{59} = \dfrac{140}{590}$ et $\dfrac{1}{10}= \dfrac{59}{590}$. Ainsi, $\dfrac{14}{59} > \dfrac{1}{10}$ et donc \begin{center}
\fbox{la probabilité que l'élève se dise sensible au tri selectif est supérieur à $10\%$.}
\end{center}
\item On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l'établissement. Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'élèves pratiquant le tri sélectif parmi les 4 élèves interrogés. Le nombre d'élèves de l'établissement est suffisamment grand pour que l'on considère que $X$ suit une loi binomiale.
\begin{enumerate}
\item On répète de façon identique et indépendante, $4$ fois une épreuve de Bernoulli ayant pour probabilité de succès $0,7$. 
\begin{center}
\fbox{$X$ suit donc une loi binomiale de paramètre $4$ et $0,59$.}
\end{center}
\item La probabilité qu'aucun des quatre élèves interrogés ne pratique le tri sélectif est donné par
\begin{center}
\fbox{$P(X= 0) = (0,41)^4$.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}[Suites]
Dans  une  réserve  naturelle,  on  étudie  l'évolution  de  la  population  d'une  race  de  singes  en  voie  d'extinction à cause d'une maladie. 
\subsubsection*{Partie A} 
Une étude sur cette population de singes a montré que leur nombre baisse de 10 \% chaque année. Au 1\up{er} janvier 2004, la population était estimée à 25 000 singes. À  l'aide  d'une  suite,  on  modélise  la  population  au  1\up{er}  janvier  de  chaque  année.  Pour  tout  entier  naturel $n$, le terme $u_n$ de la suite représente le nombre de singes au 1\up{er} janvier de l'année 2004 + n. On a ainsi $u_0 = 25 000$. 
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Au 1\up{er} janvier 2005, la population de singe est \begin{center}
\fbox{$u_1 = 25000- 0,1 \times 25000 = 0,9 \times 25000 = 22500$. }
\end{center}
\item Au 1\up{er} janvier 2006, la population de singe est \begin{center}
\fbox{$u_2 = 22500- 0,1 \times 22500 = 0,9 \times 22500 = 20250$. }
\end{center}
\end{enumerate}
\item On a pour tout $n$ entier $u_{n+1} = 0,9^n u_n$ avec $u_0 = 25000$. Il s'agit d'une suite géométrique de raison $0,9$. Ainsi 
\begin{center}
\fbox{$\forall n \in \N, \; u_n = 25000 \times (0,9)^n$.}
\end{center}
\item Suivant  ce  modèle,  on  souhaite  savoir,  à  l'aide  d'un  algorithme,  au  bout  de  combien  d'années  après le 1\up{er} janvier 2004 le nombre de singes sera inférieur à 5 000. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous.
\begin{verbatim}
L1 : Variables        u un réel, n un entier 
L2 : Initialisation   u prend la valeur ..25000.. 
L3 :                  n prend la valeur ..0..
L4 : Traitement       Tant que ..u > 5000.. faire 
L5 :                      u prend la valeur ..0,9 * u.. 
L6 :                      n prend la valeur .. n + 1 .. 
L7 :                  Fin Tant que 
L8 : Sortie           Afficher n 
\end{verbatim}    
\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie B}
 
Au 1\up{er} janvier 2014, une nouvelle étude a montré que la population de cette race de singes, dans la réserve naturelle, ne comptait plus que 5 000 individus. La maladie prenant de l'ampleur, on met en place un programme de soutien pour augmenter le nombre de naissances. À partir de cette date, on estime que, chaque année, un quart des singes disparaît et qu'il se produit 400 naissances. On  modélise  la  population  de  singes  dans  la  réserve  naturelle  à  l'aide  d'une  nouvelle  suite.  Pour  tout entier naturel $n$, le terme $v_n$ de la suite représente le nombre de singes au 1\up{er} janvier de l'année $2014 + n$. On a ainsi $v_0 = 5 000$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item On a tout d'abord 
\begin{center}
\fbox{$v_1 = \dfrac{3}{4} \times 5000 + 400 = 3 \times 1250 + 400 = 4150$}
\end{center}
\item Pour tout entier naturel $n$, on a 
\begin{center}
\fbox{$v_{n+1} = \dfrac{3}{4} v_n + 400$. }
\end{center}
\item On résout l'équation 
\begin{align*}
x = \dfrac{3}{4} x + 400 & \Longleftrightarrow \dfrac{1}{4}x = 400 \\
& \Longleftrightarrow x = 1600.
\end{align*} 
\begin{center}
 \fbox{On a donc $x_0= 1600$.}
 \end{center} 
\item On pose alors la suite $(w_n)_{n \in \N}$ définie par $w_n = v_n - x_0$. On a alors pour tout $n\in \N$, 
\begin{align*}
w_{n+1} & = v_{n+1} - 1600 \\
		& = \frac{3}{4} v_n + 400 - 1600 \\
		& = \frac{3}{4}(w_n + 1600) -1200 \\
		& = \frac{3}{4} w_n .
\end{align*} 
De plus $w_0 = 5000 - 1600 = 3400$. \begin{center}
\fbox{La suite $(w_n)_{n \in \N}$ est donc une suite géométrique de raison $\dfrac{3}{4}$ et de premier terme 3400. }
\end{center}

\item Pour tout entier $n$,on a 
\begin{center}
\fbox{$w_n = 3400 \times \left(\dfrac{3}{4} \right)^n $. }
\end{center}
\item On en déduit que pour tout entier naturel $n$, on a \begin{center}
\fbox{$v_n = w_n + 1600 =  1600 + 3400 \times 0,75^n$. }
\end{center}
\item La limite de la suite $(v_n)_{n \in \N}$ est 1600. Cela signifie qu'au bout d'un temps suffisamment grand, la population de singe se stabilisera autour de 1600 individus. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[]
Un crocodile a repéré une proie située à 12 mètres de lui sur la berge opposée d'une rivière. Le crocodile se déplace à une vitesse différente sur terre et dans l'eau. Le temps que met le crocodile à atteindre le zèbre peut être réduit s'il traverse la rivière en visant un certain point $P$, placé à $x$ mètres du point de départ sur l'autre rive (voir schéma).

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.9]{DS0_2.png}
\end{figure}

Le temps $T$ nécessaire pour faire le trajet est donné par l'équation indiquée ci-dessous (en dixièmes de seconde):
$$
T(x) = 2\sqrt{81 + x^2} + (12 - x).
$$

\begin{enumerate}
\item Pour Calculer en combien de temps le crocodile rejoindra le zèbre uniquement à la nage, on étudie 
\begin{align*}
T(12) & = 2\sqrt{81 + 144} + (12-12) \\
	  & = 2 \sqrt{225} \\
	  & = 2 \times 15 \\
	  & \boxed{= 30}
\end{align*}
\item Pour calculer en combien de temps le crocodile rejoindra le zèbre s'il coupe la rivière au plus court, on étudie 
\begin{align*}
T(0) & = 2\sqrt{81 + 0} + (12-0) \\
	  & = 2 \times 9 + 12 \\
	  & \boxed{= 30}
\end{align*}
\item On cherche le minimum de la fonction $T$ entre $5$ et $6$. Pour cela, on étudie la fonction $T$. Cette fonction est dérivable sur $[5;6]$ en tant que composée et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle :
\begin{align*}
T'(x) & = 2 \times \dfrac{2x}{2 \sqrt{81 + x^2}} - 1 \\
	  & = \dfrac{2x}{\sqrt{81 + x^2}} - 1
\end{align*}
Il est très difficile d'étudier le signe d'une telle fonction. Néanmoins, cette fonction est elle même dérivable sur $[5,6]$ et 
\begin{align*}
T''(x) & = \dfrac{2\sqrt{81+x^2} - 2x \dfrac{2x}{2\sqrt{81 +x^2}}}{81 +x^2} \\
	   & = \dfrac{\dfrac{2(\sqrt{81+x^2})^2}{\sqrt{81+x^2}} -  \dfrac{2x^2}{\sqrt{81 +x^2}}}{81 +x^2} \\
	   & = \dfrac{2(81+x^2) -  2x^2}{(81 +x^2)\sqrt{81+x^2}} \\
	   & = \dfrac{162}{(81 +x^2)\sqrt{81+x^2}} > 0 \\
\end{align*}
La fonction $T'$ est donc strictement croissante. C'est une fonction continue et de plus, 
$$
T'(5) = \dfrac{2 \times 5}{\sqrt{81+25}} - 1 = \dfrac{10}{\sqrt{106}} - 1 < 0
$$
et 
$$
T'(6) = \dfrac{2 \times 6}{\sqrt{81+36}} - 1 = \dfrac{12}{\sqrt{117}} - 1 > 0
$$
D'après le théorème de la bijection, il existe une unique solution $\alpha \in [5;6]$ à l'équation $T'(x) = 0$. En ce point, la dérivée s'annule et donc \begin{center}
\fbox{la valeur minimisant le temps de l'alligator est $\alpha$. }
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}